第一章：建立数学模型

要点摘录：

  • 原型和模型的概念与区别
  • 构造模型的目的性
  • 模型的分类
    • 形象模型
      • 直观模型
      • 物理模型
    • 抽象模型
      • 思维模型
      • 符号模型
      • 数学模型
  • 包饺子案例
  • 路障间距设计案例
  • 椅子稳放案例
  • 数学建模的两种方法和基本步骤

详细记录

原型和模型的概念与区别

原型：指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的==实际对象==。可以是一个系统，也可以是一个过程。

  • 客观存在，是客观因素（变量）的集合，是对一个整体的概括。

模型：指为了某个==特定目的==将原型的某一部分简缩、提炼而构造的原型替代物。

  • 是部分（受关心）的因素（变量）的集合，仅表示感兴趣的一个部分。

构造模型的目的性

  • 模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反应与某种目的有关的那些方面和层次。
  • 一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型。
  • 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

模型的分类

形象模型

  • 直观模型：通常是原型尺寸的等比例缩放，主要追求外观上的逼真，效果是一目了然。
  • 物理模型：为了一定目的根据与原型相似的原理构造的模型，仿照原型的外形和某些特征，进行模拟实验，用来==间接地==研究原型地某些规律。

抽象模型

  • 思维模型：人脑通过不断试错尝试，总结经验，完成对原型某一部分信息的简缩和提炼，所形成的思维或直觉。

  • 符号模型：在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。如地图、电路图、化学结构式等。

  • 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成的，描述原型==数量规律==的数学公式、图形或算法。

    又可以被一般地描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

包饺子案例

路障间距案例

椅子稳放案例

数学建模额两种方法和步骤

两种方法

  • 机理分析

    根据对研究对象特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。

  • 数据驱动

    基于对研究对象收集到的大量数据，通过统计分析、系统辨识、机器学习、人工智能等手段，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

步骤

  1. 模型准备

    了解实际问题背景，明确目的，搜集与问题有关信息，弄清研究对象的主要特征，由此初步确定使用哪一类模型。

  2. 模型假设

    根据对象的特征和建模的目的，抓住问题本质，忽略次要因素，做出必要、合理的简化假设。（重要且困难，是一门 art 的技术活）

  3. 模型构成

    直观地说，就是列出描述对象内在各方面数量规律的方程组，或者说是用数学的语言、符号描述对象的内在数量规律。

  4. 模型求解

    在给定的条件下求解方程（解方程、画图、优化方法、数值计算、概率统计等 approach），得到答案

  5. 模型分析

    对求解结果进行数学上的分析（误差分析、统计分析、灵敏性分析、健壮性分析）

  6. 模型验证

    将求解和分析的结果翻译回实际问题，检验模型的合理性和适用性。根据检验结果反馈地修改模型假设。

  7. 模型应用